关于相交数等于子流形上积分的原因技术问询

嘿，这个问题我当初学复几何的时候也卡了好久，给你理理背后的完整逻辑链，其实就是拓扑和分析通过两个核心定理串起来了：

先把问题里的拓扑定义再明确下：
我们有n维紧连通复流形$X$，它的k维连通子流形$V$，还有$X$上的除子$D_1,\dots,D_k$。每个除子对应的线丛$\mathcal{O}_X(D_i)$的第一陈类是$c_1(\mathcal{O}_X(D_i)) \in H^2(X; \mathbf{Z})$，这些类的上积是$c_1(\mathcal{O}_X(D_1)) \cdot \dots \cdot c_1(\mathcal{O}X(D_k)) \in H^{2k}(X; \mathbf{Z})$。和$V$的基本类$[V] \in H{2k}(X; \mathbf{Z})$配对得到的整数就是相交数：
$$
\left\langle c_1(\mathcal{O}_X(D_1)) \cdot \dots \cdot c_1(\mathcal{O}_X(D_k)), [V] \right\rangle
$$

现在说为什么这个数等于$V$上的积分，核心是两步：

1. de Rham定理把拓扑配对直接转化为积分 #

de Rham定理最核心的结论之一就是：实系数上同调$H^*(X; \mathbf{R})$和de Rham上同调（闭形式模掉恰当形式）是同构的，而且这个同构还保持结构：

• 上同调类之间的上积，对应微分形式的外积操作
• 上同调类$\alpha$和同调类$[M]$的配对$\langle \alpha, [M] \rangle$，本身的定义就是在$M$上对$\alpha$的任意闭代表形式$\omega$积分，也就是$\langle \alpha, [M] \rangle = \int_M \omega$

这一步直接把拓扑层面抽象的“配对”，和分析层面具体的“积分”划上了等号。

2. 陈-Weil理论给陈类找了微分形式的“具象代表” #

陈-Weil理论的作用就是把拓扑上抽象的陈类，用微分几何里的曲率形式给具象化了。对于线丛$\mathcal{O}_X(D_i)$，我们给它加一个厄米度量，就能得到对应的曲率形式$\omega_i$——这是个闭的$(1,1)$微分形式，而且$c_1(\mathcal{O}_X(D_i))$在实系数上同调中的代表形式就是$\frac{1}{2\pi i}\omega_i$（这个系数是为了让代表形式对应的上同调类刚好落在整系数里，和拓扑陈类的整性对应）。

把这两步结合起来看：
相交数对应的上同调上积$c_1(D_1)\cdot\dots\cdot c_1(D_k)$，它的de Rham代表形式就是各个陈类代表形式的外积：$\left( \frac{1}{2\pi i} \right)^k \omega_1 \wedge \dots \wedge \omega_k$。再根据de Rham定理的配对定义，这个上同调类和$[V]$的配对，就等于在$V$上对这个外积形式积分：
$$
\left\langle c_1(\mathcal{O}_X(D_1)) \cdot \dots \cdot c_1(\mathcal{O}_X(D_k)), [V] \right\rangle = \int_V \left( \frac{1}{2\pi i} \right)^k \omega_1 \wedge \dots \wedge \omega_k
$$

最后补个几何直观：除子的相交数本来就是计数除子在子流形上的交点个数（带重数和符号），而曲率形式本质上是线丛的“扭曲程度”，它们的外积在子流形上的积分，其实就是用分析的方式来计算这个“交点计数”——拓扑和分析在这里就完美统一起来了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者msecauchy