求证：由$\mathbb{Z}^d$平移Lebesgue可测集$E$构成$\mathbb{R}^d$的不交覆盖时$E$的Lebesgue测度必为1
嘿，这道测度论的经典题我太熟了，咱们一步步捋清楚怎么证，保证逻辑顺得很～
首先先把题目条件再明确一遍，避免理解偏差：
我们说$\mathbb{R}d$里的Lebesgue可测集$E$能生成$\mathbb{R}d$的不交平移覆盖（用$\mathbb{Z}^d$的元素做平移），需要满足两个条件：
- 所有平移后的集合能盖满整个$\mathbb{R}d$：$\mathbb{R}d = \bigcup_{l \in \mathbb{Z}^d} (l + E)$
- 任意两个不同的平移集完全不交：只要$l_1 \neq l_2 \in \mathbb{Z}^d$，就有$(l_1 + E) \cap (l_2 + E) = \emptyset$
要证的就是：这时候$E$的Lebesgue测度$m(E)$一定等于1，其中$m(·)$是$\mathbb{R}^d$上的Lebesgue测度。
核心思路：用测度的两个关键性质破题
我们要用到Lebesgue测度的两个核心特性，这俩是解决这类问题的“黄金武器”：
- 平移不变性：不管你把哪个可测集平移多少，它的测度都不变——也就是对任意可测集$A$和$l \in \mathbb{R}^d$，$m(l + A) = m(A)$
- 可数可加性：如果有可数个两两不交的可测集，它们的并集的测度，就等于每个集合测度的和——即对不交可测集族${A_n}$，$m\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty m(A_n)$
具体证明步骤
我们取$\mathbb{R}^d$里的单位半开立方体$Q = [0,1)^d$，这个集合的Lebesgue测度$m(Q)=1$，这是基础结论，没问题吧？
第一步：把单位立方体用$E$的平移集的交集覆盖
因为整个$\mathbb{R}^d$被${l + E}{l \in \mathbb{Z}^d}$不交覆盖，那单位立方体$Q$自然也能被这些平移集和$Q$的交集不交覆盖，也就是：
$$Q = \bigcup{l \in \mathbb{Z}^d} \left( (l + E) \cap Q \right)$$
而且这些交集两两不交（毕竟原来的$l+E$就两两不交，它们和$Q$的交集当然也不交）。
根据可数可加性，我们可以把$Q$的测度拆成这些交集测度的和：
$$m(Q) = \sum_{l \in \mathbb{Z}^d} m\left( (l + E) \cap Q \right)$$
因为$m(Q)=1$，所以左边就是1，也就是：
$$1 = \sum_{l \in \mathbb{Z}^d} m\left( (l + E) \cap Q \right)$$
第二步：用平移不变性把交集测度转化为$E$的子集测度
注意到$(l + E) \cap Q$其实就是$l + (E \cap (Q - l))$——这里$Q - l$是把单位立方体$Q$平移$-l$得到的集合，也就是$[-l_1, 1-l_1) \times \dots \times [-l_d, 1-l_d)$。
根据平移不变性，平移后的集合测度等于原集合测度，所以：
$$m\left( (l + E) \cap Q \right) = m\left( E \cap (Q - l) \right)$$
把这个代入刚才的求和式，就得到：
$$1 = \sum_{l \in \mathbb{Z}^d} m\left( E \cap (Q - l) \right)$$
第三步：把求和式和$E$的测度联系起来
现在看$\bigcup_{l \in \mathbb{Z}^d} (Q - l)$是什么？其实就是整个$\mathbb{R}^d$——每个$Q - l$都是平移后的单位立方体，刚好能无重叠（除了测度为0的边界）覆盖全空间。
而$E$作为$\mathbb{R}^d$的子集，自然可以被这些$E \cap (Q - l)$覆盖，而且这些子集除了边界点之外两两不交（边界点是测度为0的零测集，不影响测度计算）。
再用一次可数可加性，$E$的测度就等于这些子集测度的和：
$$m(E) = \sum_{l \in \mathbb{Z}^d} m\left( E \cap (Q - l) \right)$$
第四步：得出结论
对比第二步最后得到的式子和第三步的式子，右边的求和式是同一个，所以直接就能得到：
$$m(E) = 1$$
举个一维的例子验证
就像题目里提到的$\mathbb{R}$上的例子：$E = (0,1) \cup {2}$。我们算它的测度：开区间$(0,1)$的测度是1，单点集${2}$的测度是0，所以$m(E)=1+0=1$，完全符合结论。
再验证一下它是不是$\mathbb{R}$的不交覆盖：每个平移集$n + E = (n, n+1) \cup {n+2}$，这些集合两两不交，而且并起来就是整个$\mathbb{R}$——任何实数要么落在某个开区间$(n,n+1)$里，要么是某个整数$k$，而$k = (k-2) + 2$，属于$(k-2)+E$，完美覆盖！
最后补个小说明
可能有人会问：那些边界点的测度会不会影响结论？其实完全不会，因为Lebesgue测度里，零测集的测度是0，就算把它们加进去，也不会改变总和的数值，所以我们的推导完全严谨。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者anton
