关于Merton model中随机二重积分交换积分次序的Fubini's theorem应用疑问

嘿，我来帮你把这个积分次序交换的问题掰扯明白，其实核心是先把积分区域搞清楚，再看随机版本的Fubini定理怎么在这里落地~

首先先把咱们的推导背景再理一遍，Merton模型下的短期利率是：
$$r_t = r_s + \theta (t - s) + \sigma \int_s^t d w_u$$

为了计算s到T的债券价格，我们需要对$r_t$积分，得到：
$$\int_s^T r_t , dt = \int_s^T r_s , dt + \theta \int_s^T (t - s) , dt + \sigma \int_s^T \int_s^t d w_u , dt$$

化简后到这一步：
$$=r_s (T - s) + \theta \int_s^T t , dt - \theta s \int_s^T dt + \sigma \int_s^T \int_u^T d w_u , dt$$

你困惑的点就在于最后那个二重积分的次序交换——为啥外层积分的上下限没变，只是内层的范围变了？其实这和Fubini定理的核心逻辑一致，不管是普通积分还是随机积分，交换次序的关键是积分区域的等价描述，而不是盯着积分的“外层/内层”标签看。

我给你拆解一下这个积分区域：

• 原来的积分是 $\int_s^T \left( \int_s^t d w_u \right) dt$，对应的积分区域是所有满足 $\boldsymbol{s \leq u \leq t \leq T}$ 的$(u,t)$对。你可以把它想象成一个在(u-t)平面上的三角形：左边界是u=s，右边界是t=T，斜边是u=t。
• 现在要交换积分次序，我们换个角度描述这个三角形区域：固定u的取值（u从s到T），那么t的取值范围就变成了从u到T（因为原来的条件要求t≥u，同时t≤T）。所以积分就变成了 $\int_s^T \left( \int_u^T dt \right) d w_u$，也就是你看到的 $\sigma \int_s^T \int_u^T d w_u , dt$（这里dt和dw_u的顺序不影响，因为dw_u关于t是“常数”，先算对t的积分完全没问题）。

至于随机版本的Fubini定理，只要这个随机积分满足平方可积的条件（在Merton模型的设定下，布朗运动的积分肯定满足），就允许我们像普通黎曼积分一样交换积分次序，只要积分区域是等价的。这里外层积分的上下限没变，是因为u的取值范围本来就和t一样是从s到T，我们只是把“按t切片”的积分方式，改成了“按u切片”，本质上还是在同一个区域上积分，所以结果不变。

举个更直观的例子：假设s=0，T=2，原来的积分是t从0到2，每个t对应u从0到t，也就是(0,0)到(2,2)的下三角区域；交换次序后是u从0到2，每个u对应t从u到2，还是同一个下三角区域，只是遍历的方式变了而已。

这样解释应该能帮你理清这个次序交换的逻辑了吧？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者QuantMathLab