关于最小费用完美匹配LP松弛可行性论证的疑问求助

各位好，我最近在梳理完美匹配相关的线性规划松弛问题时，陷入了一个逻辑误区，翻来覆去找不到问题出在哪，恳请大家帮我指点一下！

先明确几个前提：

• 定义集合 $S:={D \subseteq V:|D| \text{ is odd}}$
• 根据Cook等人《组合优化》中的定理5.13：图 $G$ 存在完美匹配，当且仅当如下线性规划(P)是可行的：
  $$
  \begin{aligned}
  \min \quad &\sum_{e\in E}c_ex_e \
  \text{s.t.} \quad &x(\delta(v))=1 \quad \forall v \in V, \
  &x(\delta(D))\geq 1 \quad \forall D \in S, \
  &x\geq0
  \end{aligned}
  $$

接下来是我的推导过程：
因为线性规划的可行性只和约束条件有关，和目标函数无关，所以我构造了一个新的LP(P')——它和(P)拥有完全相同的可行解集合，只是把目标函数换成了0。按道理，(P)可行当且仅当(P')可行。

然后我就顺着这个思路想：既然(P')的目标函数是0，那只要存在可行解，这个解的目标值就是0，而所有可行解的目标值都是0，所以每个可行解都是(P')的最优解。那是不是意味着(P')一定可行？可这显然不对啊——毕竟不是所有图都存在完美匹配，这说明我的推导肯定有漏洞，但我就是揪不出来问题到底在哪。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者tacobellmath