满足最小值恒为0的非负连续函数族的局部恒零性求证

各位好，我最近卡在了一个分析问题上，先把我想求证的命题明确写出来：

假设我们有一族非负连续函数 $f_1,..., f_k: [0,a) \to [0, \infty)$（其中 $a>0$），满足对所有 $i$ 都有 $f_i(0)=0$，并且这族函数的最小值恒为0——换句话说，对每个 $t\in[0,a)$，都存在某个 $i$ 使得 $f_i(t)=0$。

那么是否一定存在某个 $j\in {1,..,k}$ 和某个 $b\in (0,a)$，使得 $f_j$ 在 $[0,b)$ 上恒等于0，也就是对所有 $t\in [0,b)$，都有 $f_j(t)=0$？

直觉上我觉得这个命题肯定是对的，但我越试着去构造证明，就越觉得无从下手……有没有懂分析的朋友能帮我判断下这个命题的正确性，要是真的成立的话，能不能给点证明的思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者J_J