有限维复向量空间上线性算子存在特征值的证明错误定位请求

嘿，各位大佬好！我这儿有个关于有限维复向量空间上线性算子特征值的证明问题，想请大家帮忙看看。先把相关的命题和目前写了一半的证明片段整理出来：

待证命题 #

设$V$是域$\mathbb{C}$上的有限维向量空间，满足$\dim V = n \geq 1$，$T \in \mathcal{L}(V)$（即$T$是$V$上的线性算子），则$T$一定存在特征值。

已完成的证明片段 #

因为$\dim V = n \geq 1$，所以$V$中存在非零向量$v$。考虑向量列表$(v, Tv, T^2v, \dots, T^n v )$，这个列表的长度是$n+1$。由于$V$的维数是$n$，这个列表必然是线性相关的，因此存在一组不全为0的系数$a_0,a_1,\dots,a_n$，使得：
$$a_0v + a_1 Tv + a_2 T^2 v + \dots + a_n T^nv = 0$$
接下来我本来想设$$...$$（这里还没写完）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hope