平展覆盖（étale cover）定义确认及待定示例的平展性验证问询

嘿，我先把自己梳理的平展态射和平展覆盖的定义列出来，想请大家帮忙确认是不是准确，另外还有个待定的示例，我拿不准它是不是真的平展覆盖，想请教下：

平展态射（étale morphism）的定义 #

一个概形态射 $f:X\to Y$ 被称为平展的，当且仅当它是平坦且无分歧的，具体需要满足以下三个条件：

• $f$ 是局部有限展示的
• 诱导的茎态射是平坦的，并且将 $\mathcal{O}{Y, f(p)}$ 的极大理想映射到 $\mathcal{O}{X, p}$ 的极大理想
• 剩余域扩张 $k(x)/k(y)$ 是可分代数扩张

平展覆盖（étale cover）的定义 #

平展覆盖是一族平展态射 ${X_i \to X}$，这族态射需要满足联合满射的条件——也就是它们的像的并集能完全覆盖目标概形 $X$。

我自己核对了好几遍，感觉上面的定义应该没毛病，但现在碰到个例子，别人说它是平展覆盖，我有点拿不准。具体情况是：
设 $k$ 是特征 $\mathrm{char}(k) \neq 2$ 的域，$a \in k$ 是非零元，对应的态射族（原文中该态射族的具体表达式未完整给出），想请大家帮忙验证这族态射是不是真的构成平展覆盖？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者categorically_stupid