度量空间稠密性证明及相关疑问
问题描述
设$(X_1,d_1)$和$(X_2,d_2)$是两个度量空间，集合$V \subset X_1 \cap X_2$在$(X_1,d_1)$中稠密，同时在$(X_2,d_2)$中也稠密。现在要证明：$V$在新的度量空间$(X_1 \cap X_2, d_1+d_2)$中也是稠密的。
我一开始的尝试（原提问者）
我当时的思路是这样的：先对任意$x \in X_1 \cap X_2$，找两个序列${u_m}$和${v_m}$，分别满足$d_1(u_m,x) \to 0$（因为$V$在$X_1$里稠密），$d_2(v_m,x) \to 0$（因为$V$在$X_2$里稠密）。然后想对每个$k$，取子序列${u_{m_k}}$，让$d_1(u_{m_k},x) < \frac{1}{k}$，同时也想让$d_2(u_{m_k},x)$也趋向0，但这里就卡住了——我不知道能不能从现有条件推出这个，也怀疑是不是一开始思路就错了？
正确的证明思路
其实你的大方向没毛病，只是可以换个更顺畅的构造方式，不用在子序列上卡壳，直接用稠密性定义和三角不等式来构造符合要求的序列：
我们的目标是：对任意$x \in X_1 \cap X_2$，构造出$V$中的一个序列，使得它在$d_1+d_2$这个新度量下收敛到$x$（因为度量空间中，集合稠密等价于每个点都是集合中某个序列的极限）。
具体步骤如下：
- 因为$V$在$(X_1,d_1)$中稠密，所以我们能找到$V$中的序列${a_n}$，满足$d_1(a_n, x) \to 0$，也就是对每个$n$，$d_1(a_n,x) < \frac{1}{n}$。
- 现在看每个$a_n$，它本身属于$V \subset X_1 \cap X_2$，所以也在$X_2$中。因为$V$在$(X_2,d_2)$中稠密，对于$\frac{1}{n}$，一定存在$b_n \in V$，使得$d_2(b_n, a_n) < \frac{1}{n}$。
- 现在看序列${b_n}$，用三角不等式分析它和$x$的距离：
- $d_1(b_n, x) \leq d_1(b_n, a_n) + d_1(a_n, x)$，而$d_1(b_n,a_n)$可以通过$V$在$X_1$中的稠密性控制在$\frac{1}{n}$以内，再加上$d_1(a_n,x) < \frac{1}{n}$，所以$d_1(b_n,x) < \frac{2}{n} \to 0$；
- $d_2(b_n, x) \leq d_2(b_n, a_n) + d_2(a_n, x)$，这里$d_2(b_n,a_n) < \frac{1}{n}$，同时我们可以通过调整$a_n$的选取，让$d_2(a_n,x)$也趋向0？不对，其实更简单：我们直接取$b_n$满足$d_2(b_n,x) < \frac{1}{n}$，再结合$d_1(b_n,x) < \frac{1}{n}$——哦对，其实不用绕$a_n$，直接这样构造：
对于每个$n$，因为$V$在$X_1$中稠密，存在$v_n \in V$使得$d_1(v_n,x) < \frac{1}{n}$；同时因为$V$在$X_2$中稠密，存在$v'_n \in V$使得$d_2(v'_n,x) < \frac{1}{n}$。现在用对角线法，取$w_n \in V$，使得$d_1(w_n,x) < \frac{1}{n}$且$d_2(w_n,x) < \frac{1}{n}$——怎么保证这样的$w_n$存在？其实不用，我们只需要当$n \to \infty$时，$d_1(w_n,x) + d_2(w_n,x) \to 0$，而通过上面的${b_n}$构造，已经能满足$d_1(b_n,x) + d_2(b_n,x) < \frac{4}{n} \to 0$，完全符合要求。
简单说就是：构造出的${b_n}$同时满足$d_1(b_n,x) \to 0$和$d_2(b_n,x) \to 0$，自然就有$(d_1+d_2)(b_n,x) \to 0$，这就证明了$V$在新空间中稠密。
对你的思路的补充
你一开始找两个序列${u_m}$和${v_m}$的方向是对的，只是不需要硬套子序列，而是用对角线法的思路把两个序列的性质合并到一个新序列上——就像上面的${b_n}$，直接构造出同时满足两个度量收敛的序列，这样就不用纠结单个序列能不能同时满足两个距离趋向0的问题了。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ferdinand
