一维布朗运动有限时间内首达上边界且未达下边界的概率计算问询

你好呀，这个问题是布朗运动首达概率领域的经典问题，我给你用两种常用的方法推导这个概率的表达式，都是概率与随机分析里的标准技巧：

方法一：反射原理（无穷级数形式，基于正态分布） #

首先我们可以把目标概率拆成两个部分的差值来理解：

目标概率 = P(在t时刻前到达L) - P(在t时刻前先到达0再到达L)

先回忆安德烈反射原理：对于一维布朗运动，从x出发，在t内到达L的概率可以用镜像法写出：
$$P(\tau_L < t) = 1 - \Phi\left(\frac{L - x}{\sqrt{t}}\right) + \Phi\left(\frac{2x - L}{\sqrt{t}}\right)$$
这里$\Phi$是标准正态分布的累积分布函数。

而要计算“先到0再到L且总时间小于t”的概率，我们可以对路径做两次反射：把首次到达0的路径关于0点反射，得到从$-x$出发的等效路径，那么原路径“先到0再到L且时间小于t”的概率，就等于从$-x$出发的布朗运动在t内到达L的概率，同样用镜像法写出：
$$P(\tau_0 < \tau_L < t) = 1 - \Phi\left(\frac{L + x}{\sqrt{t}}\right) + \Phi\left(\frac{-L - x}{\sqrt{t}}\right)$$

把这两个概率相减，就得到我们要的目标概率。如果考虑所有可能的多次反射路径（交替反射上下边界），可以把结果写成更通用的无穷级数形式：
$$P(\tau_L < \min(t, \tau_0)) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left[ \Phi\left(\frac{L - x + 2nL}{\sqrt{t}}\right) - \Phi\left(\frac{-L - x + 2nL}{\sqrt{t}}\right) \right]$$
这个级数收敛速度很快，因为当n的绝对值增大时，正态分布的项会迅速趋近于0，实际计算时取前几项就足够精确。

方法二：偏微分方程（傅里叶级数形式） #

我们也可以把目标概率看作关于x和t的函数$u(x,t) = P(\tau_L < \min(t, \tau_0) | W_0=x)$，这个函数满足以下的热方程与边界/初始条件：

• 热方程：$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$，因为布朗运动的转移密度满足热方程，这个概率作为期望也遵循同样的方程
• 边界条件1：$u(0,t) = 0$，因为如果路径已经到达0点，就不符合“未达下边界”的要求，概率为0
• 边界条件2：$u(L,t) = 1$，因为如果路径已经到达L点，就完全满足“首达上边界且未达下边界”的要求，概率为1
• 初始条件：$u(x,0) = 0$，因为t=0时路径还在x点，不可能在0时刻满足条件

用分离变量法解这个热方程，假设解的形式为$u(x,t) = X(x)T(t)$，代入热方程后分离变量，结合边界条件可以得到特征值与特征函数，再叠加所有特征解并利用初始条件确定系数，最终得到：
$$u(x,t) = \frac{x}{L} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\frac{n2\pi^2 t}{2L^2}}$$

这个傅里叶级数形式在t较大时收敛极快，因为指数项会快速衰减；而当t较小时，反射原理的正态级数形式收敛更快，你可以根据实际计算需求选择合适的形式。

两种形式的等价性 #

你可能会好奇这两个级数为什么能表示同一个概率，其实它们是同一结果的不同数学表达，可以通过正态分布的傅里叶变换（特征函数）证明两者等价，不过在实际应用中不用纠结等价性，选适合计算的形式即可。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Seurat