稳定∞-范畴中筛滤局部化图表的交集子范畴对应的局部化映射判定问题

我最近在研究稳定∞-范畴的局部化，遇到了一个问题想请教：

假设我们有一个稳定∞-范畴$C$，还有一个筛滤图表（sifted diagram）形式的子范畴族${C_i}_{i\in I}$，每个$C_i$都对应着与图表交换的局部化函子$L_i: C \to C_i$。现在考虑这些子范畴的交集$C_\infty := \cap_{i\in I} C_i$，我想知道：对应到$C_\infty$的局部化函子是不是就是$X \mapsto \mathrm{colim},L_i(X)$？

一些额外的想法和关注点：

• 如果需要添加额外假设来让结论成立的话，完全可以提出。
• 我自己初步觉得，当指标集$I$是*滤过的（filtered）*时，这个结论应该是成立的，但还需要进一步验证。
• 我特别感兴趣的特例是：每个$C_i$都是某个解析环上的完备模构成的范畴（相关文献的4.1.1节有相关背景内容）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Semcio