带边界约束条件的算术均值与几何均值之比的渐近最大值求解

嘿，我来聊聊这个困扰我挺久的问题——我试过各种方法来攻克它，下面会详细分享一些我的尝试，但目前还没得到可行的结论（估计是我在多元优化问题上的功底还不够扎实）。

考虑向量 $(x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n$（我们可以假设 $n$ 很大），其中所有 $1 \leq i \leq n$ 都满足 $x_i>0$，定义如下函数：
$$
S(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n \frac{x_i}{\prod_{k=1}^nx_k{1/n}}.
$$
我想要找到这个和式关于 $n$ 的渐近最大值，且满足以下边界约束条件：
$$
\begin{align}
&x_1=1,
\& x_i \leq 1, \hspace{1mm} 2 \leq i \leq n,
\& x_i \leq (j-i+1)\prod_{k=i}^j x_k^{1/(j-i+1)}, \hspace{1mm} 1 \leq i <j \leq n
\end{align}
$$

我的一些尝试思路 #

• 首先注意到 $S$ 其实是算术均值与几何均值比值的 $n$ 倍：因为算术均值 $\text{AM}(x_1,...,x_n) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$，几何均值 $\text{GM}(x_1,...,x_n) = \prod_{k=1}^n x_k^{1/n}$，所以 $S = n \cdot \frac{\text{AM}}{\text{GM}}$。我们熟知AM≥GM，所以 $S \geq n$，但现在我们要找的是最大值，方向正好相反。
• 尝试从约束条件入手拆解：第三个约束可以改写为 $x_i \leq \text{AM}(x_i, x_{i+1}, ..., x_j)$，也就是说每个位置的 $x_i$ 不能超过它到任意后续位置 $j$ 的子序列的算术均值。结合 $x_1=1$ 且 $x_i \leq1$ 的条件，序列大概率是递减的。
• 构造极端序列测试：比如假设序列是等比递减的 $x_i = r^{i-1}$（$0 < r \leq1$），代入约束条件验证可行性，再计算 $S$ 的值并观察 $n$ 增大时的趋势，但发现第三个约束会严格限制 $r$ 的取值，得到的结果达不到预期的渐近增长效果。
• 尝试拉格朗日乘数法，但由于约束是不等式且数量随 $n$ 线性增长，多元优化的复杂度极高，尤其是针对大 $n$ 的渐近分析，很难找到通用的解法框架。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Chris