关于$4\sin(\pi/n)^2$的极小多项式恒等式的证明方法问询

各位数学社区的朋友们，

我最近在研究三角函数相关的极小多项式时，定义了$\Phi_n(x)$为$4\sin(\pi/n)^2$的极小多项式，它的前几项如下：
$$(\Phi_n(x))_{n\geq 1}=(x, x-4, x-3, x-2, x^2-5x+5,\dots)$$

通过大量计算验证，我发现了两个看起来成立的恒等式，但一直没能找到严谨的证明方法，想请教大家有没有思路或者相关的理论可以参考：

• 对于所有奇数$m\geq 3$，有：
  $$\Phi_{2m}(x)=(-1)^\frac{\phi(m)}{2}\Phi_m(4-x)$$
  其中$\phi$是欧拉函数。

• 对于所有$k\geq 2$以及任意正整数$m$，有：
  $$\Phi_{2^k m}(x)=\Phi_m\left(\Phi_{2^k}(x)2\right)$$

我尝试从极小多项式的定义出发，结合三角函数的恒等式（比如二倍角公式）来推导，但卡在了多项式的次数和符号处理上，尤其是第一个恒等式里的$(-1)^{\phi(m)/2}$项，不知道该怎么对应到多项式的变换上。

有没有大佬能分享下证明的方向，或者推荐相关的文献、定理？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Johann Cigler