内接矩形与外矩形的边长关系技术问询

嗨，我来帮你理清楚这个内接矩形和外矩形的边长关系问题～

先把问题再明确下：

假设矩形A（边长为w和h）内接于矩形B（边长为W和H），且矩形A的所有顶点都落在矩形B的边上（但不与B的顶点重合）。已知矩形A的边长w与矩形B的边长W的夹角小于π/4，请问w、h、W、H之间满足什么关系？

我们可以用几何投影+代数消元的方法来推导：

• 先设矩形A的边与矩形B的边的夹角为θ（0 < θ < π/4）
• 从投影的角度看，外矩形的长W是内接矩形两边在W方向的投影之和，也就是：
  W = w·cosθ + h·sinθ
• 同理，外矩形的宽H是内接矩形两边在H方向的投影之和：
  H = w·sinθ + h·cosθ

接下来我们要消去θ这个中间变量，得到只含w、h、W、H的关系式：

1. 把上面两个式子分别平方：
   • W² = w²cos²θ + 2wh sinθcosθ + h²sin²θ
   • H² = w²sin²θ + 2wh sinθcosθ + h²cos²θ
2. 将平方后的两个式子相加，利用cos²θ + sin²θ = 1和2sinθcosθ = sin2θ化简：
   W² + H² = w² + h² + 2wh·sin2θ
3. 再把最初的两个式子相乘，同样利用三角函数恒等式化简：
   W·H = wh + (w² + h²)·(sin2θ)/2

从第三步的式子中解出sin2θ：
sin2θ = \frac{2(WH - wh)}{w² + h²}

把这个结果代入第二步得到的式子中，就能消去θ：
W² + H² = w² + h² + 2wh·\frac{2(WH - wh)}{w² + h²}

最后整理一下，就能得到核心的边长关系式：
(W² + H²)(w² + h²) = (w² + h²)² + 4wh(WH - wh)

如果再进一步化简，也可以写成：
(W² + H²)(w² + h²) = (w² - h²)² + 4whWH

另外，因为θ < π/4，所以sin2θ < 1，代入sin2θ的表达式还能得到一个约束条件：
(w + h)² > 2WH

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kpjoshi