大家好，我现在在计算一个n阶行列式时遇到了瓶颈，想和大家请教一下后续的推导思路。

我要计算的原行列式是：
$$
\begin{vmatrix}1+x_1y_1&1+x_1^{2y_2&\ldots&1+x_1}ny_n\1+x_2y_1&1+x_2^{2y_2&\ldots&1+x_2}ny_n\\vdots&\vdots&&\vdots\1+x_ny_1&1+x_n^{2y_2&\ldots&1+x_n}ny_n\end{vmatrix}
$$

我尝试用加边法来求解，首先构造了一个加边后的(n+1)阶行列式：
$$
\begin{vmatrix}1&1&1&\ldots&1\0&1+x_1y_1&1+x_1^{2y_2&\ldots&1+x_1}ny_n\0&1+x_2y_1&1+x_2^{2y_2&\ldots&1+x_2}ny_n\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\0&1+x_ny_1&1+x_n^{2y_2&\ldots&1+x_n}ny_n\end{vmatrix}
$$

接着我对这个加边行列式做了行变换：把第一行的-1倍分别加到下面的每一行，得到了新的行列式：
$$
=\begin{vmatrix}1&1&1&\ldots&1\-1&x_1y_1&x_1^{2y_2&\ldots&x_1}ny_n\-1&x_2y_1&x_2^{2y_2&\ldots&x_2}ny_n\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\-1&x_ny_1&x_n^{2y_2&\ldots&x_n}ny_n\end{vmatrix}
$$

之后我尝试从各列中提取系数，得到了这一步的结果，但后面的推导就卡住了：
$$
=-y_1y_2\cdots y_n\begin{vmatrix}-1&\frac{1}{y_1}&\frac{1}{y_2}&\ldots&\frac{1}{y_n}\1&...
$$

想问问大家我的加边法思路有没有问题，或者接下来应该怎么继续推导这个行列式呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TwiZoe