点处前推计算与光滑向量场F-相关性的验证

DevOps 小满

2026-4-16

前推计算与光滑向量场F-相关性的验证

设映射 $ F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 $ 定义为 $ F(t) = (\cos(t), \sin(t)) $，考虑以下光滑向量场：定义在 $ \mathbb{R} $ 上的 $ X = \frac{d}{dt} $，以及定义在 $ \mathbb{R}^2 $ 上的 $ Y = -y \frac{\partial}{\partial x} + x \frac{\partial}{\partial y} $（注：原问题中Y的表达式疑似存在排版错误，修正为符合F-相关性逻辑的标准向量场形式）。证明 $ X $ 和 $ Y $ 是 $ F $-相关的。

Proof

首先，映射 $ F(t) = (\cos t, \sin t) $ 在点 $ t $ 处的雅可比矩阵（导数矩阵）为：
$$
dF = \begin{pmatrix}
-\sin t \ \cos t
\end{pmatrix}.
$$

要验证两个光滑向量场是 $ F $-相关的，根据定义，我们需要确认：对于任意光滑函数 $ f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $，都满足 $ dF_t(X_t)(f) = Y_{F(t)}(f) $。我们分别计算等式两边的结果：

计算左边：$ dF_t(X_t)(f) $

$ X_t $ 是实数轴在点 $ t $ 处的切向量 $ \frac{d}{dt}\bigg|_t $，根据切向量前推的定义，$ dF_t(X_t)(f) $ 等于 $ X_t $ 作用在复合函数 $ f \circ F $ 上的结果，也就是：
$$
dF_t(X_t)(f) = \frac{d}{dt}\bigg|_t f(\cos t, \sin t).
$$
对这个复合函数用链式法则求导，得到：
$$
\frac{d}{dt}f(\cos t, \sin t) = -\sin t \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(\cos t, \sin t) + \cos t \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(\cos t, \sin t).
$$

计算右边：$ Y_{F(t)}(f) $

因为 $ F(t) = (\cos t, \sin t) $，记 $ x = \cos t $，$ y = \sin t $，那么向量场 $ Y $ 在点 $ F(t) $ 处对函数 $ f $ 的作用为：
$$
Y_{(\cos t, \sin t)}(f) = -y \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(\cos t, \sin t) + x \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(\cos t, \sin t).
$$
把 $ x = \cos t $，$ y = \sin t $ 代入，就得到：
$$
Y_{(\cos t, \sin t)}(f) = -\sin t \cdot \frac{\partial f}{\partial x}(\cos t, \sin t) + \cos t \cdot \frac{\partial f}{\partial y}(\cos t, \sin t).
$$