利用控制收敛定理求解含参无穷积分极限的疑问

嘿，我完全懂你现在的纠结！控制收敛定理（DCT）在课本里常拿序列来举例，碰到这种连续参数趋向无穷的情况，确实会一下子懵住——不知道该怎么把连续的t和定理里的序列对应起来对吧？

先给你捋清楚核心点：其实DCT不仅适用于离散序列的极限过程，它也可以直接推广到连续参数的极限过程；当然如果你非要用课本里的序列版本来套，也完全可行，给你两种思路：

思路一：直接用连续参数版的控制收敛定理 #

• 先看逐点极限：对每个固定的$x>0$，当$t \to \infty$时，$t^{2$会趋向无穷，那$e}{-t^2x}$就会趋向0，而$\cos x$是有界的（绝对值不超过1），所以$g_t(x)=e^{-t2x}\cos x$逐点趋向0；
• 再找合格的控制函数：你之前想的$|g_t(x)| \leq e^{-t2x}$其实有问题，因为这个上界是跟t有关的，没法作为全局的可积控制函数。正确的控制函数得是不依赖t的可积函数：当$t \to \infty$时，最终t会大于1，这时候$t^2 \geq 1$，所以$e^{-t2x} \leq e^{{-x}$，而$e}{-x}$在$(0,\infty)$上是可积的（$\int_0^\infty e^{-x}dx=1$）。对于t<1的情况，其实我们不用管，因为我们要的是t趋向无穷的极限，只需要考虑t足够大的情况就行；
• 满足DCT的条件后，就可以交换极限和积分：$\lim_{t \to \infty} \int_0^\infty g_t(x)dx = \int_0^\infty \lim_{t \to \infty}g_t(x)dx = \int_0^\infty 0 dx = 0$。

思路二：用离散序列版本的控制收敛定理来套 #

如果你非要贴合课本里的序列形式，也很简单：

• 取任意一个趋向无穷的离散序列${t_n}$，比如$t_n = n$、$t_n = \sqrt{n}$都行，只要$\lim_{n \to \infty}t_n = \infty$；
• 对这个序列对应的函数$g_{t_n}(x)=e^{-t_n2x}\cos x$，逐点极限还是0，控制函数同样用$e^{-x}$（当n足够大时，$t_n≥1$，$|g_{t_n}(x)| ≤ e^{-x}$）；
• 用序列版DCT就能得到$\lim_{n \to \infty} \int_0^\infty g_{t_n}(x)dx = 0$，而因为所有趋向无穷的序列都满足这个结果，所以$\lim_{t \to \infty} \int_0^\infty g_t(x)dx = 0$。

另外补充个小提醒：控制收敛定理里的控制函数，必须是**不依赖于参数（这里就是t）**的可积函数，你之前找的那个跟t有关的上界，不符合这个要求，这是容易踩的坑哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Emmy N.