关于ℝⁿ×ⁿ空间中基矩阵乘法交换性的疑问及证明方法咨询

我太懂你这种翻遍谷歌和代数书都找不到对应定理，心里就没底的感觉了！其实完全不用纠结查不到现成结论，咱们直接从矩阵乘法的最基础定义出发，就能把这个问题说透～

先再明确下咱们讨论的基矩阵：$e_{ij}$是n阶实矩阵，只有第i行第j列的元素是1，其余位置全为0，这确实是ℝⁿ×ⁿ空间的标准基没错。

你说“几乎所有乘积都是0”这点没错，但并不是所有基矩阵相乘都能交换哦，咱们直接动手算两个基矩阵的乘积，就能一目了然：

先回忆矩阵乘法的核心规则：两个矩阵A和B相乘得到AB，AB的第p行第q列元素，等于A的第p行与B的第q列的点积。

那咱们先算$e_{ij}e_{kl}$：

• 观察它的第p行第q列元素：就是$e_{ij}$的第p行和$e_{kl}$的第q列的点积。
• $e_{ij}$的第p行只有当p=i时，第j列位置是1，其余全0；$e_{kl}$的第q列只有当q=l时，第k行位置是1，其余全0。
• 所以点积结果不为0的唯一条件是：j=k，这时候$e_{ij}e_{kl}$的第i行第l列元素是1，其余全0，也就是$e_{ij}e_{kl}=e_{il}$；如果j≠k，那点积全为0，也就是$e_{ij}e_{kl}=0$。

反过来再算$e_{kl}e_{ij}$：

• 用同样的逻辑，它的第p行第q列元素非零的唯一条件是：l=i，这时候$e_{kl}e_{ij}=e_{kj}$；如果l≠i，结果就是0。

现在对比这两个乘积：

• 只有当$e_{il}=e_{kj}$时，两者才相等，也就是i=k且l=j，或者在一些特殊情况下（比如j≠k且l≠i，且两边乘积都是0的时候），比如$e_{12}e_{34}=0$，$e_{34}e_{12}=0$，这时候两者相等；但只要不满足这些条件，乘积就不相等。
• 举个最直观的反例：n≥2时，取$e_{12}$和$e_{21}$，计算得$e_{12}e_{21}=e_{11}$，而$e_{21}e_{12}=e_{22}$，显然$e_{11}≠e_{22}$，这就直接说明这两个基矩阵相乘不交换！

那什么时候基矩阵相乘是可交换的呢？比如对角线上的基矩阵$e_{ii}$和$e_{kk}$：如果i=k，那两者相乘结果都是$e_{ii}$；如果i≠k，两者相乘结果都是0，所以对角基矩阵之间是可以交换的。但只要涉及非对角的基矩阵，大部分情况下相乘都不交换。

其实这种基础问题，从定义出发一步步推导，比找现成定理要靠谱得多，毕竟很多这类小结论都是定义的直接延伸，未必会单独写成定理放在书里～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1440582