关于300颗随机大理石投入100个盒子的概率与期望计算的技术问询

嘿，我来帮你一步步拆解这个问题哈～首先明确前提：300颗大理石独立投掷，每颗投进100个盒子的概率都是均匀的（即每个盒子概率$\frac{1}{100}$）。

问题1：计算第i个盒子为空的概率 #

咱们先单独看一颗大理石：它不投进第i个盒子的概率是 $1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$。

因为所有大理石的投掷都是独立的，所以300颗大理石都不进第i个盒子的概率就是每颗不进的概率相乘，也就是：
$$
P(\text{第i个盒子为空}) = \left( \frac{99}{100} \right)^{300}
$$

你之前算的第i个盒子里大理石的期望是3，这个是对的（$E[Y] = 300 \times \frac{1}{100} = 3$），但这个是盒子内大理石数量的期望，和“盒子为空”这个事件的概率是两个不同的维度，所以得换个思路处理空盒子的问题～

问题2：计算空盒子数量的期望 #

这里用指示变量法会非常方便，咱们定义100个指示变量：

• 对于第j个盒子（j从1到100），令 $X_j = 1$ 如果第j个盒子为空，否则 $X_j = 0$。

那么空盒子的总数就是 $X = X_1 + X_2 + \dots + X_{100}$。根据期望的线性性（不管变量是否独立都成立），空盒子数量的期望就是：
$$
E[X] = E[X_1] + E[X_2] + \dots + E[X_{100}]
$$

而每个 $E[X_j]$ 其实就是第j个盒子为空的概率，也就是咱们问题1里算的 $\left( \frac{99}{100} \right)^{300}$。因为所有盒子的情况是对称的，每个盒子为空的概率都一样，所以：
$$
E[X] = 100 \times \left( \frac{99}{100} \right)^{300}
$$

如果要数值近似的话，$\left( \frac{99}{100} \right)^{300} \approx e^{-300/100} = e^{-3} \approx 0.0498$，所以期望大约是 $100 \times 0.0498 = 4.98$，也就是大概5个空盒子。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PabloSaint