关于Navier-Stokes方程倒数变量替换后的形式推导及相关疑问

我想知道当对Navier-Stokes方程应用如下倒数形式的变量替换，并展开所有与新分母相关的导数后，方程会变成什么样子：

$$z=\dfrac{v}{|v|^2}=\left[\begin{array}{c} \frac{v_x}{v_x^2+v_y2+v_z^2}\ \frac{v_y}{v_x^2+v_y2+v_z^2}\ \frac{v_z}{v_x^2+v_y2+v_z^2}\end{array}\right],\quad v_k(\vec{x},t)\ \forall k={x,\ y,\ z}$$

替换后方程形式如下：

$$\frac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{v}{|v|^{2}\right)+\left(\dfrac{v}{|v|}2}\cdot \nabla\right)\dfrac{v}{|v|^2}=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\ \Delta!!\left(\dfrac{v}{|v|^2}\right)+f(\vec{x},t)$$

我有个疑问：在展开这些导数之后，会不会出现变量的分数次幂项（比如平方根这类形式）？

动机 #

（原动机内容未完整提供）

嘿，这个变量替换挺有意思的，咱们一步步来拆解这个问题：

首先先定义个简化符号方便推导：令 $V = |v|^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$，这样 $z = v / V$，每个分量可以写成 $z_i = v_i / V$（$i=x,y,z$）。

1. 时间导数项 $\frac{\partial z}{\partial t}$

对每个分量求导：
$$\frac{\partial z_i}{\partial t} = \frac{V \frac{\partial v_i}{\partial t} - v_i \frac{\partial V}{\partial t}}{V^2}$$
而 $\frac{\partial V}{\partial t} = 2(v_x \frac{\partial v_x}{\partial t} + v_y \frac{\partial v_y}{\partial t} + v_z \frac{\partial v_z}{\partial t}) = 2v \cdot \frac{\partial v}{\partial t}$，代入后：
$$\frac{\partial z}{\partial t} = \frac{1}{V}\frac{\partial v}{\partial t} - \frac{2(v \cdot \frac{\partial v}{\partial t})}{V^2}z$$
这里所有项都是 $v$ 导数的线性组合，分母是 $V$ 的整数次幂，暂时没出现分数次幂。

2. 对流项 $(z \cdot \nabla)z$

先算 $z \cdot \nabla = z_x \frac{\partial}{\partial x} + z_y \frac{\partial}{\partial y} + z_z \frac{\partial}{\partial z}$，然后作用在 $z_i$ 上：
$$(z \cdot \nabla)z_i = z \cdot \nabla\left(\frac{v_i}{V}\right) = \frac{(z \cdot \nabla)v_i}{V} - \frac{v_i (z \cdot \nabla)V}{V^2}$$
其中 $(z \cdot \nabla)V = z \cdot \nabla(v \cdot v) = 2z \cdot [(v\cdot\nabla)v + v\times(\nabla\times v)]$，代入 $z = v/V$ 后，展开结果的分母依然是 $V$ 的整数次幂，分子是 $v$ 及其导数的多项式组合，还是没有分数次幂。

3. 拉普拉斯项 $\Delta z$

拉普拉斯算子作用在 $z_i$ 上：
$$\Delta z_i = \nabla^2\left(\frac{v_i}{V}\right) = \frac{\Delta v_i}{V} - 2\nabla\left(\frac{1}{V}\right)\cdot\nabla v_i + v_i \nabla^2\left(\frac{1}{V}\right)$$
计算得 $\nabla(1/V) = -\frac{2v}{V^{2}$，$\nabla}2(1/V) = -2\frac{\nabla\cdot v}{V^2} + 8\frac{1}{V}$，代入后所有项的分母依然是 $V$ 的整数次幂，没有分数次幂出现。

关于分数次幂的疑问

从上面的推导步骤来看，直接展开替换后的方程各项，得到的都是 $v$ 及其导数的有理函数（多项式的比值），不会出现分数次幂（比如平方根）。只有当你需要把 $v$ 用 $z$ 反解出来的时候，才会涉及到分数次幂：因为 $z = v / |v|^2$，两边取模长得 $|z| = 1/|v|$，所以 $|v| = 1/|z|$，进而 $v = z / |z|^2$，这里 $|z|$ 是 $z$ 分量的平方和开根号，也就是分数次幂，但这是反变换的结果，不是原方程展开后的项。

总结一下：直接展开替换后的Navier-Stokes方程，得到的都是 $v$ 及其导数的有理组合，不会出现分数次幂；只有在把方程完全转换为以 $z$ 为变量的形式时，才会引入 $|z|$ 相关的分数次幂项。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Joako