关于满足特定恒等式的多项式存在性的归纳法证明问询

问题要求：证明对于每一个 $n \geq 1$，存在次数分别为 $n$ 和 $n-1$ 的多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$，满足恒等式：
$$(P(x))^2 - 1 = (x^2 - 1)(Q(x))^2$$

我已经尝试用归纳法入手，当 $n=1$ 时，找到了 $P(x)=x$，$Q(x)=1$，代入后确实满足等式：$x^2 - 1 = (x^2 - 1) \times 1^2$，这一步是成立的。

我把恒等式重新整理成了：
$$(P(x))^2 - (x^2 - 1)(Q(x))^2 = 1$$
从这个形式我推出 $\gcd((P(x))^2, (Q(x))^2) = 1$，因为它们没有公共根，进而得到 $\gcd(P(x), Q(x)) = 1$，但到这里就卡住了，不知道该怎么继续推进归纳步骤。有没有什么提示能帮我往下走？

其实你可以从递推构造的角度来思考归纳步骤，这类恒等式和佩尔方程的结构特别像，咱们可以套一下佩尔方程的递推思路。假设当 $n=k$ 时，已经找到了满足条件的 $P_k(x)$（次数 $k$）和 $Q_k(x)$（次数 $k-1$），那你试试用下面的递推式来造 $n=k+1$ 时的多项式：
$$P_{k+1}(x) = xP_k(x) + (x^2 - 1)Q_k(x)$$
$$Q_{k+1}(x) = P_k(x) + xQ_k(x)$$

你先动手验证下这个递推能不能保住恒等式：把 $P_{k+1}(x)$ 和 $Q_{k+1}(x)$ 代入整理后的 $(P)^2 - (x^2-1)(Q)2$，展开后用 $n=k$ 时的归纳假设（就是 $(P_k)^2 - (x^2-1)(Q_k)2 = 1$），算出来结果肯定还是1，刚好符合要求。

另外你也可以核对下次数：$P_{k+1}(x)$ 的最高次项是 $x \times x^k + x^2 \times x^{k-1} = x^{k+1} + x^{k+1} = 2x^{k+1}$，次数确实是 $k+1$；$Q_{k+1}(x)$ 的最高次项是 $x^k + x \times x^{k-1} = x^k + x^k = 2x^k$，次数是 $k$，完全贴合题目对次数的要求。

至于你之前提到的互素性，这个递推造出来的 $P_{k+1}(x)$ 和 $Q_{k+1}(x)$ 也会保持互素。你可以用归纳假设结合递推式反证：如果它们有公因式 $d(x)$，那 $d(x)$ 肯定能整除 $xP_k + (x^2-1)Q_k$ 和 $P_k + xQ_k$，把这两个式子做线性组合（比如用 $x$ 乘第二个式子再减第一个），就能推出 $d(x)$ 整除1，也就是互素，刚好和你之前的结论对上。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ricci Ten