Banach代数中单位元规范化新范数的次乘性证明困惑

嘿，我来帮你拆解这个次乘性的证明，其实关键就是把新范数的定义和乘法结合起来看就行！

首先先回顾一下这个新范数的定义：
$$|x| = \sup_{y \neq 0} \frac{|x y|}{|y|}$$
我们要证的是对任意元素$x,z$，都有$|xz| \leq |x| |z|$。

次乘性的推导步骤 #

1. 先写出$|xz|$的定义：
   $$|xz| = \sup_{y \neq 0} \frac{|(xz)y|}{|y|}$$
   根据代数结合律，$(xz)y = x(zy)$，所以这个式子可以改写为：
   $$|xz| = \sup_{y \neq 0} \frac{|x(zy)|}{|y|}$$

2. 分两种情况讨论任意非零的$y$：

   • 情况1：$zy \neq 0$
     我们可以把分式拆成两个部分的乘积：
     $$\frac{|x(zy)|}{|y|} = \frac{|x(zy)|}{|zy|} \cdot \frac{|zy|}{|y|}$$
     根据新范数的定义，$\frac{|x(zy)|}{|zy|} \leq \sup_{w \neq 0} \frac{|x w|}{|w|} = |x|$（这里把$zy$当成定义里的$w$）；同时$\frac{|zy|}{|y|} \leq \sup_{y \neq 0} \frac{|z y|}{|y|} = |z|$。所以两者的乘积满足：
     $$\frac{|x(zy)|}{|y|} \leq |x| \cdot |z|$$
   • 情况2：$zy = 0$
     这时候$\frac{|x(zy)|}{|y|} = \frac{|x \cdot 0|}{|y|} = 0$，显然$0 \leq |x| \cdot |z|$（因为范数都是非负的）。

3. 取上确界完成证明
   既然对于每一个非零的$y$，都有$\frac{|(xz)y|}{|y|} \leq |x| |z|$，那么所有这些比值的上确界自然也不会超过$|x| |z|$，也就是$|xz| \leq |x| |z|$，次乘性就证出来了！

关于完备性的补充 #

你提到的完备性思路是对的，其实还可以更明确一点：原来的范数$|\cdot|$和新范数$|\cdot|$是等价范数：

• 一方面，$|x| = \sup_{y \neq 0} \frac{|xy|}{|y|} \geq \frac{|x e|}{|e|} = \frac{|x|}{|e|}$（取$y=e$即可）；
• 另一方面，$|x| = |x e| \leq |x| |e|$（根据新范数的定义，$\frac{|x e|}{|e|} \leq |x|$，两边乘$|e|$就得到这个不等式）。

等价范数下，空间的完备性是保持的——原来的Banach空间在等价范数下依然是Banach空间，加上我们刚证的次乘性，这个新范数下的代数就是Banach代数啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者huh