$\mathbb{Z}_p$上严格上三角矩阵群$TU(n,\mathbb{Z}_p)$的元素阶通用证明请求

我最近在学习Frobenius对Sylow第一定理的证明，过程中他用到了Cayley定理构造了群$G$到对称群$S_n$的映射，接着又通过置换矩阵建立了从$S_n$到一般线性群$GL(n,\mathbb{Z}_p)$的映射。之后他提到，严格上三角矩阵群$TU(n,\mathbb{Z}_p)$是$GL(n,\mathbb{Z}_p)$的一个Sylow $p$-子群。

我在相关讨论里找到了$n=3$的情况：可以用归纳法证明$TU(3,\mathbb{Z}_p)$中所有元素的阶都是$p$，但我找不到适用于任意$n$的通用证明。有没有人能帮我证明，对于任意正整数$n$，$TU(n,\mathbb{Z}_p)$中的元素阶均为$p$？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Victor Hugo