关于特定单调函数设定下不等式$f(x) \geq g(x)$等价性的技术问询

大家好，我之前在研究一个数学问题时，提出了下面这个猜想，想请教各位同行的看法：

给定定义在$\mathbb{R}$上的单调函数$f(x),g(x)$（二者要么同为递增函数，要么同为递减函数），其中$f(x)$是整值阶梯函数——它只输出整数，并且对任意整数$n$，在区间$[n,n+1)$上的取值保持不变；$g(x)$是连续可微函数。假设$g(x)$取整数值当且仅当$x$属于集合$X={x_i}$，且所有$x_i$都是整数。

（注：原猜想的后半部分内容未完整给出，如果有补充信息我会及时更新）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hyakutake