关于双曲面高斯映射的像的疑问

我最近对着单叶双曲面的高斯映射的像有点搞不明白，特意梳理了推导过程，也想把这个像的范围彻底搞清楚：

首先我们给单叶双曲面做参数化：
$$ \mathbf{x}(u,v)= \left( \sqrt{1+u^2} \cos v , \sqrt{1+u^2}\sin v, u \right)$$

接下来计算曲面的偏导向量和单位法向量（也就是高斯映射的像点）：

• 对参数$u$求偏导：
  $$
  \mathbf{x}_u = \left( \frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \cos v , \frac{u}{\sqrt{1+u^2}} \sin v , 1 \right)
  $$
• 对参数$v$求偏导：
  $$
  \mathbf{x}_v = \left( -\sqrt{1+u^2} \sin v , \sqrt{1+u^2} \cos v , 0 \right)
  $$
• 计算单位法向量$N$（叉乘后取单位化）：
  $$
  N = \frac{ \mathbf{x}_u \times \mathbf{x}_v }{ \vert \mathbf{x}_u \times \mathbf{x}_v \vert} = \frac{1}{ \sqrt{1+2u^2 }} \left( -\sqrt{1+u^2} \cos v , -\sqrt{1+u^2} \sin v , u \right)
  $$

现在我们用柱坐标系分析这个高斯映射的像（所有$N$点都在单位球面上）：

1. 到z轴的距离（半径r）：
   法向量的x、y分量的模长就是到z轴的距离，计算得：
   $$
   r = \frac{ \sqrt{1+u^2} }{ \sqrt{1+2u^2}}
   $$
   令$t=u^2 \geq 0$，代入后可以推导其范围：
   $$
   \dfrac{1}{\sqrt{2}} < \dfrac{ \sqrt{1+u^2}}{ \sqrt{1+2u^2}} \leq 1
   $$
   当$u=0$时，r取到最大值1；当$|u|\to+\infty$时，r趋近于$\frac{1}{\sqrt{2}}$（但永远达不到这个值）。

2. z分量（高度）：
   法向量的z分量为：
   $$
   z_N = \frac{u}{ \sqrt{1+2u^2}}
   $$
   令$t=u^2 \geq 0$，则$|z_N| = \frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1+2t}}$，分析这个表达式的范围：
   当$t=0$时，$|z_N|=0$；当$t\to+\infty$时，$|z_N|\to\frac{1}{\sqrt{2}}$，所以z分量的范围是：
   $$
   -\frac{1}{\sqrt{2}} < z_N < \frac{1}{\sqrt{2}}
   $$

总结一下，单叶双曲面的高斯映射的像，是单位球面上介于两个平行平面$z=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$之间，同时到z轴的距离大于$\frac{1}{\sqrt{2}}$且不超过1的区域——也就是单位球面上去掉了靠近南北极的两个“帽状”区域后的部分。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ILLE2304