两个独立二元正态分布之差的分布求解

嘿，这个问题其实是一维正态分布差的性质直接推广到多元情况的，咱们一步步来理清楚：

首先先回顾一下你提到的一维情况：

给定两个独立的正态分布随机变量 $X\sim\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$ 和 $Y\sim\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)$，可以推导出 $X-Y\sim\mathcal{N}(\mu_1-\mu_2,~\sigma_1^2+\sigma_22)$

那对于二维（多元）的情况，这个性质是完全可以直接拓展的，而且逻辑很顺：

假设我们有两个独立的二元正态分布随机向量：
$\boldsymbol{X}=\begin{bmatrix}X_1\X_2 \end{bmatrix}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}_1, \boldsymbol{\Sigma}1)$，其中 $\boldsymbol{\mu}1 = \begin{bmatrix}\mu{11}\\mu{12} \end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\Sigma}_1$ 是2×2的协方差矩阵；
$\boldsymbol{Y}=\begin{bmatrix}Y_1 \ Y_2\end{bmatrix}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}_2, \boldsymbol{\Sigma}2)$，其中 $\boldsymbol{\mu}2 = \begin{bmatrix}\mu{21}\\mu{22} \end{bmatrix}$，$\boldsymbol{\Sigma}_2$ 是另一个2×2的协方差矩阵。

因为 $\boldsymbol{X}$ 和 $\boldsymbol{Y}$ 是独立的，那么它们的差 $\boldsymbol{Z} = \boldsymbol{X} - \boldsymbol{Y}$ 仍然服从二元正态分布，具体参数如下：

• 均值向量：$\boldsymbol{\mu}Z = \boldsymbol{\mu}1 - \boldsymbol{\mu}2 = \begin{bmatrix}\mu{11}-\mu{21}\\mu{12}-\mu_{22} \end{bmatrix}$
• 协方差矩阵：$\boldsymbol{\Sigma}_Z = \boldsymbol{\Sigma}_1 + \boldsymbol{\Sigma}_2$

换句话说，$\boldsymbol{X}-\boldsymbol{Y}\sim\mathcal{N}(\boldsymbol{\mu}_1 - \boldsymbol{\mu}_2, \boldsymbol{\Sigma}_1 + \boldsymbol{\Sigma}_2)$

为啥协方差矩阵是相加呢？其实和一维里方差相加是一个道理：因为 $\text{Cov}(\boldsymbol{X}, -\boldsymbol{Y}) = -\text{Cov}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) = 0$（独立的话协方差为0），所以 $\text{Cov}(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{X}-\boldsymbol{Y}) = \text{Cov}(\boldsymbol{X},\boldsymbol{X}) + \text{Cov}(-\boldsymbol{Y},-\boldsymbol{Y}) + 2\text{Cov}(\boldsymbol{X},-\boldsymbol{Y}) = \boldsymbol{\Sigma}_1 + \boldsymbol{\Sigma}_2 + 0 = \boldsymbol{\Sigma}_1 + \boldsymbol{\Sigma}_2$。

这个结论其实还能推广到更高维的多元正态分布，只要变量独立，差的分布都是对应均值相减，协方差矩阵相加的多元正态分布哦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者n1ps