回合制单尝试已知胜率游戏中各玩家获胜概率的通用计算方法咨询

各位好，我最近在设计一个回合制游戏，遇到了概率计算的问题想请教大家：

这个游戏的规则是这样的：

• 一共有n个玩家，标记为A、B……n
• 每个玩家轮到自己的回合时，有一个已知的获胜概率$p_A, p_B, \ldots, p_n$，而且每个玩家只有一次尝试获胜的机会——也就是说，只要玩家尝试失败，就再也没机会赢了
• 另外假设所有玩家的胜率$p < 1$，所以存在一种情况：所有玩家都尝试失败，最终没人获胜
  （编辑说明： 原本我设定回合顺序是随机选择的，为避免不必要的复杂情况，已去掉这个限制，现在只考虑固定回合顺序的通用情况）

举个最简单的两人玩家例子就能明白机制：先轮到A尝试，如果A成功，游戏直接结束，A获胜；要是A失败，就轮到B尝试，B成功的话就是B获胜；如果两人都失败，那就是没人赢。

目前我已经算出了“没人获胜”的概率，公式是这样的：
$$P(\text{nobody wins}) = \prod_{i=1}^n (1-p_i)$$

不过现在的问题是，我只会手动计算少量玩家（比如2个、3个）的单个玩家获胜概率，但玩家数量一多手动算就太繁琐了。所以想请教一下，有没有适用于任意n个玩家、任意固定回合顺序的通用计算公式，能直接算出每个玩家最终获胜的概率呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者msfrn