虚二次域类群为偶阶的d值刻画问询

这个问题在代数数论里是个经典研究方向，咱们先从你观察到的现象入手，再扩展到一般性的结论：

首先明确讨论对象：我们通常聚焦于虚二次域 $K = \mathbb{Q}(\sqrt{-d})$（其中$d$是无平方因子的正整数，对应的整数环是极大序，也是$\mathbb{Z}$添加$\sqrt{-d}$或$\frac{1+\sqrt{-d}}{2}$生成的环，类数相关结论可统一适用）。你提到自己写代码计算后发现，当$d$被5整除时类数（类群的阶）总是偶数，这个观察非常准确，背后的逻辑是：

当素数$p$整除$d$时，$p$在$K$中是分歧的——对应的素理想$\mathfrak{p}$满足$\mathfrak{p}^2=(p)$（主理想）。如果$\mathfrak{p}$不是主理想，它在类群中的阶就是2，直接导致类群阶为偶数；如果$\mathfrak{p}$是主理想，意味着$p$能表示为$K$中整数的范数，即存在整数$a,b$使得$p = a^2 + d b^{2$。对$p=5$来说，只有$d=5$时满足$5=0}2+5*1^2$，而$\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$的类数恰好是2，依然是偶数。所以不管$d$是5的多少倍（无平方因子），类数必然为偶数。

接下来是你关心的一般性刻画：虚二次域的类数为偶数，等价于类群中存在2阶元（即存在非主理想$\mathfrak{I}$，使得$\mathfrak{I}^2$是主理想），具体可拆解为这些等价判定条件：

• 从素因子角度：
  • 若$d$有至少两个不同的奇素因子，类数必为偶数；
  • 若$d$是2乘以一个奇素数$p$，且$p \equiv 3 \pmod{4}$，类数为偶数；
  • 若$d$是单个奇素数$p$，且$p \equiv 1 \pmod{4}$，类数为偶数（相反，若$p \equiv 3 \pmod{4}$，类数为奇数）；
• 从表示论角度：类数为偶数当且仅当存在正整数$n>1$，使得$n$能表示为$K$中整数的范数，但无法表示为$K$中主理想的范数；
• 从理想角度：类数为偶数当且仅当$K$中存在非主整理想，其范数是某个整数的平方。

补充一点：高斯曾对虚二次域的类数问题做过深入研究，他提出的“类数问题”至今仍有未解决的部分，但关于偶数类数的刻画已有非常成熟的结论，你可以查阅代数数论教材（比如Neukirch的《代数数论》、Marcus的《数论》）进一步深入。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Samuel White