关于SO(3)等变函数从ℝ³到高维值域的解读及相关特性问询

咱们来好好拆解一下这个SO(3)等变函数的定义和特性哈～

首先，定义一个函数 $f \colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^{2l+1} ,, l \in \mathbb{N}_0$，它是SO(3)-等变函数，意思就是对任意的旋转群元素 $g \in \text{SO(3)}$ 和任意三维向量 $r \in \mathbb{R}^3$，都满足：

$$f(\rho^1(g)r) = \rho^l(g)f(r)$$

这里得提一下，$(\rho^l, \mathbb{R}^{2l+1})$ 是SO(3)的一个不可约表示，简单说就是没法再拆成更小的、对SO(3)作用封闭的子空间的表示啦。

接下来看一个特殊的子群：$\text{S}(r) \subset \text{SO(3)}$，这个子群里的元素都是绕着$r$方向的轴做旋转的，这类旋转肯定不会改变$r$本身对吧？那把这个子群代入到等变函数的性质里，就能得到：

$$f(\rho^1(h)r) = f(r) = \rho^l(h)f(r) ,,\quad \forall h \in \text{S}(r) ,, \forall r \in \mathbb{R}^3 ,. \tag{1}\label{eq1}$$

你看，从这个式子就能直接看出来，$f(r)$ 在这类绕$r$轴的旋转下是完全不变的。

当 $l=0$ 的时候，$\rho^0$ 这个表示是……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Quappas