球对称引力束缚粒子云研究相关微分方程求解问询

问题简化表述 #

• $y$、$r$和$C$均为正实数，其中$C$是常数
• 请问下述微分方程是否存在解？
  $$y\frac{d}{dr}\left(r^{2}y\frac{dy}{dr}\right)=-C$$

问题背景 #

谁没遇上过这种糟心时刻？对着一道数学题卡壳，想着先啃个简单特例找找思路吧，结果连特例都搞不定。

我目前在研究球对称、由自身引力束缚的无穷小粒子云的密度分布，先从一个简化特例入手：所有粒子的单位质量能量$E$完全相同，且单位质量角动量$L=0$。这意味着每个粒子都会径直穿过云团中心，然后在某个$r_{max}$位置停下并折返。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jerry Guern