关于从$siny/y=sin(x)$推导特定微分方程的正确性验证及求解咨询

嘿，看起来你正在为球贝塞尔函数的相位归一化推导相关微分方程，我先帮你梳理下推导过程的合理性，再聊聊这个方程的求解思路哈~

首先先确认你的推导逻辑：
你的起始方程是$\frac{\sin y}{y} = \sin x$，也就是$\sin y = y \sin x$（方程1），这一步完全没问题。
然后对两边求导得到$y' \cos y = y \cos x + y' \sin x$（方程2），这步求导是对的——左边用链式法则，右边用乘积法则，没毛病。
接下来你把方程1两边乘$y'$得到$y' \sin y = y y' \sin x$（方程3），这也只是等式两边同乘$y'$的常规操作，没问题。

你说把方程2和3平方后相加来消去$\cos y$和$\sin y$，这个思路非常巧妙，是处理这类含三角函数的隐函数微分方程的常用技巧！不过你贴的内容没写完，我来补全这个过程，顺便看看能不能对应到你最终得到的方程：

把方程2和3平方后相加：
$$(y' \cos y)^2 + (y' \sin y)^2 = [y \cos x + y' \sin x]^2 + [y y' \sin x]^2$$
左边利用$\cos^2 A + \sin^2 A = 1$直接化简为$(y')^2$。
右边展开的话是：
$$y^2 \cos^2 x + 2 y y' \cos x \sin x + (y')^2 \sin^2 x + y^2 (y')^2 \sin^2 x$$

到这里你的推导思路都是完全正确的！我看你最终得到的是$yy' + (\frac{y'}{y} - \frac{y}{y'}) = -\frac{2}{\tan x}$，应该是在后续代数变形中做了同除因子、三角恒等式替换这类操作，只要每一步的变形都满足等式的基本性质（比如不为0的项才能做除数），那推导结果就是可靠的。

接下来聊聊这个微分方程的求解：
你最终得到的方程可以先做个变量替换简化——令$u = y^2$，那么$u' = 2yy'$，也就是$yy' = \frac{u'}{2}$，同时$\frac{y'}{y} = \frac{u'}{2u}$，$\frac{y}{y'} = \frac{2u}{u'}$。把这些代入原方程后，会转化成一个关于$u$和$x$的可分离变量方程，不过求解起来可能会比较繁琐，最终得到的解大概率还是隐函数形式，其实和你最初的$\frac{\sin y}{y} = \sin x$是等价的。

另外，既然你是为了归一化球贝塞尔函数的相位，其实球贝塞尔函数的渐近形式本身就有$\frac{\sin(x - n\pi/2)}{x}$这类结构，或许你不需要显式求解这个微分方程，直接用起始的隐函数关系或者球贝塞尔函数的已知相位性质就能完成归一化？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kim