关于掷公平6面骰子直至出现指定点数时总点数期望恒为21的直觉性解释咨询

嘿，这个问题确实挺有意思的——为啥不管我们等哪个点数（1到6中的任意一个），掷骰子直到出现这个点数的总点数期望都是21呢？先给大家理理直觉上的逻辑，不用复杂的公式也能明白：

• 先明确基础：单轮掷公平6面骰子的期望点数是 $(1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5$，这个是固定不变的，和我们盯着哪个点数没关系。
• 再看掷骰子的次数期望：这是典型的几何分布场景——每次掷中目标点数的概率是 $1/6$，所以平均需要掷 $6$ 次才能第一次出现目标点数（几何分布的期望是 $1/p$，这里 $p=1/6$）。
• 总期望的核心逻辑：整个过程的总点数期望，其实就是每次掷骰子的期望点数 × 期望掷骰子的次数，也就是 $3.5 × 6 = 21$。

那为啥不管目标点数是1还是6，结果都一样？关键在于对称性：

• 没有任何一个点数比其他点数特殊，每个点数被掷中的概率都是 $1/6$，因此不管我们盯着哪个点数，期望掷骰子的次数都是6次。
• 哪怕在没掷中目标的那些轮次里，剩下的5个点数的分布依然是均匀的，它们的平均点数并不会因为目标点数不同而变化——比如盯着1的时候，没掷中时的平均点数是 $(2+3+4+5+6)/5=4$；盯着6的时候，没掷中时的平均点数是 $(1+2+3+4+5)/5=3$，但结合掷中那一次的点数和次数期望，最终总期望还是会拉平到21。

换个更直观的比喻：假设我们同时做6个独立实验，分别盯着1到6每个点数。平均来说，每个实验会掷6次，6个实验总共掷36次，总点数期望是 $36×3.5=126$。由于对称性，每个实验的总点数期望肯定是相等的，所以单个实验的期望就是 $126/6=21$——不管你盯着哪个点数，结果都不会有差别。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者odysy