关联交替序列收敛加速方法的特殊多项式极限L(ζ)及渐近展开首项求解咨询

嗨，我看了你关于这类和交替序列收敛加速方法绑定的特殊多项式的问题，咱们一步步来拆解分析下：

首先先把你的问题里的核心定义和需求再明确下，方便后续讨论：
你研究的特殊多项式是雅可比多项式的线性组合，定义为：
$$P_{2n}(\zeta) = \sum_{k=1}^n(-1){k-1}\ C_{n,k}\cdot\ 2F_1(-2k,2k;1;\zeta)$$
其中组合系数$C{n,k}$的表达式为：
$$C_{n,k} = \sum_{\ell=k}^n \binom{n}{\ell }\binom{2\ell }{\ell -k}\frac{\ell ^{{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{k}{2\ell }}{(2\ell )!}$$

你的核心目标是求解极限：
$$L(\zeta)=\lim_{n\rightarrow\infty}|P_{2n}(\zeta)|^\frac1{2n}$$
其中$\zeta\in[-1,0]$，如果能直接得到渐近展开的首项就更理想了，你尤其关注$\zeta=-1$时的$L(-1)$值。你也提到，这个极限可以通过找到求和式中的最大项来推导，并且已经考虑用变量替换$k = n t$来转化问题，我给你一些后续的落地思路：

• 缩放后的连续极值转化：既然已经想到用$k = n t$（$t\in(0,1]$）做缩放，下一步可以把$C_{n,k}$和超几何函数$2F_1(-2k,2k;1;\zeta)$都用n和t表示，对$|P{2n}(\zeta)|^{1/(2n)}$取对数后，用斯特林近似（Stirling's approximation）简化阶乘和高次幂项，把离散求和的最大项问题转化为连续变量t的极值优化问题——这是这类离散到连续渐近分析的标准操作。
• 超几何函数的针对性简化：当$n\rightarrow\infty$时，$k=nt$也会趋于无穷，这时候可以用超几何函数的渐近公式来简化$_2F_1(-2k,2k;1;\zeta)$。尤其是$\zeta\in[-1,0]$这个区间，超几何函数有更简洁的渐近行为：比如当$\zeta=-1$时，你可以尝试用超几何函数的变换公式，把$_2F_1(-2k,2k;1;-1)$转化为更易处理的形式，甚至找到封闭表达式，这会大大降低后续分析的复杂度。
• L(-1)的优先突破点：对于你最关注的$L(-1)$，可以先把$\zeta=-1$代入超几何函数，先简化$P_{2n}(-1)$的求和式。比如，利用超几何函数的有限和性质（因为当$m>2k$时，$(-2k)_m=0$），$_2F_1(-2k,2k;1;-1)$可以写成有限项求和，再结合组合数的渐近性质来分析。
• 数值预验证：在做解析推导前，不妨先计算几个大n（比如n=50、100）时的$|P_{2n}(-1)|^{1/(2n)}$数值，观察它的收敛趋势，这能帮你提前预判解析结果的大致范围，也能验证后续推导的正确性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jorge Zuniga