局部同胚是否保持半局部单连通性？

问题描述 #

设 ( f:X\to Y ) 是两个拓扑空间之间的局部同胚，已知 ( Y ) 是半局部单连通的（定义见下文），请问 ( X ) 也一定是半局部单连通的吗？

半局部单连通的定义 #

拓扑空间 ( Y ) 是半局部单连通的，当且仅当对每一点 ( y\in Y )，都存在一个局部基 ( {V_\alpha(y)} )，使得包含映射诱导的基本群同态 ( i_{\alpha*}:\pi_1(V_\alpha,y)\to \pi_1(Y,y) ) 是平凡的——也就是 ( i_{\alpha*}(\pi_1(V_\alpha,y)) = 0 )。

你的判断是对的！我帮你把证明补全并梳理细节，避免在这类看似简单的问题上踩坑：

完整证明 #

任取 ( x\in X )，记 ( y = f(x) )。

1. 因为 ( Y ) 半局部单连通，所以存在 ( y ) 的邻域 ( V )，使得 ( V ) 内的任意环路在 ( Y ) 中都是零伦的（即包含映射诱导的基本群同态平凡）。
2. 又因为 ( f ) 是局部同胚，所以存在 ( x ) 的邻域 ( U )，使得 ( f|_U:U\to f(U) ) 是同胚，并且我们可以要求 ( f(U)\subseteq V )（局部同胚保证 ( x ) 有邻域被同胚映射到 ( y ) 的邻域，取该邻域与 ( V ) 的交集即可得到这样的 ( U )）。
3. 现在验证 ( U ) 满足半局部单连通的要求：任取 ( U ) 内的环路 ( \gamma:S^1\to U )，则 ( f\circ\gamma:S^1\to V ) 是 ( V ) 内的环路。根据 ( V ) 的选取，( f\circ\gamma ) 在 ( Y ) 中零伦，即存在连续同伦 ( H:D^2\to Y )，使得 ( H|_{S^1}=f\circ\gamma )，且 ( H(0)=y )。
4. 利用局部同胚的提升性质：环路 ( \gamma ) 是 ( f\circ\gamma ) 的一个提升，而零伦环路的提升也必然零伦。我们可以将同伦 ( H ) 提升为 ( \widetilde{H}:D^2\to X )，满足 ( f\circ\widetilde{H}=H )，( \widetilde{H}|_{S^1}=\gamma )，且 ( \widetilde{H}(0)=x )。这个 ( \widetilde{H} ) 就是 ( \gamma ) 在 ( X ) 中的零伦同伦。

由于 ( x ) 是任意选取的，且我们可以通过缩小 ( U ) 得到 ( x ) 的局部基，因此 ( X ) 满足半局部单连通的定义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者123