泰勒定理证明中辅助函数形式的构造逻辑问询

各位好，我最近在啃泰勒定理（拉格朗日余项形式）的证明，卡在辅助函数的构造逻辑上了，想请教下大家为什么要这么设计辅助函数的形式。

先把这个辅助函数写出来：
$$
g(t) = f(x) - f(t) - f'(t)(x - t) - \frac{f''(t)}{2!}(x - t)^2 - \cdots - \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x - t)^n - R_n(x)\frac{(x - t)^{n+1}}{(x - a)^{n+1}}
$$

我先确认个基础点：这里我们是固定$x$的，对吧？目前我大概能get到$\frac{(x - t)^{n+1}}{(x - a)^{n+1}}$这部分是用来随着$t$的变化缩放$R_n(x)$这个误差项的，但我始终想不通——为什么我们要固定$x$，而不是固定$t$呢？这样的构造思路到底是怎么来的，为什么偏偏要加这么个缩放的项，而不是别的形式？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Michael