求解源自热力学系统最高温度分析的三次不等式：(a+b+c-x)²x ≥ 4abc（带正实数约束）

嘿，最近在折腾三个热力学系统最高温度的解析计算时，卡壳在一个有点意思的三次不等式上，想和大家一起梳理下思路。先从物理背景说起：

我本来的目标是解析计算三个初始温度为任意绝对温度$T_1, T_2, T_3$的热力学系统能达到的最高温度。参考卡伦的《Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics》以及其他热力学资料的思路，我们可以假设两个较冷的系统最终会达到同一个均衡温度$T_{\mathrm{cooler}}$，而原本最热的系统最终会达到我们要找的最高温度$T_{\mathrm{hotter}}$。根据能量守恒的核心原则，我们能推导出对应的能量平衡关系，而在把物理问题转化为数学问题的过程中，最终得到了一个带正实数约束的三次不等式。

从物理到数学的转化 #

把物理量做变量替换，令：

• $a = T_1$，$b = T_2$，$c = T_3$（都是正实数，因为绝对温度恒大于0）
• $x = T_{\mathrm{hotter}}$（也就是我们要分析的核心变量）

最终需要处理的核心不等式就是：
(a+b+c-x)²x ≥ 4abc

初步的分析切入点 #

因为所有变量都是正实数，首先可以明确几个基础约束：

• $0 < x < a+b+c$：毕竟$a+b+c-x$对应两个冷系统的总温度相关项，必须为正，否则物理上不成立
• 我们可以把不等式展开成标准三次多项式形式：$x^3 - 2(a+b+c)x^2 + (a+b+c)^2x - 4abc ≥ 0$，之后可以尝试因式分解，或者用导数分析函数极值的方法来确定不等式的解集
• 也可以做变量替换简化形式：令$y = a+b+c - x$（显然$y > 0$），那么不等式转化为$y²x ≥ 4abc$，同时满足$x + y = a+b+c$，这时候可以尝试结合均值不等式的思路来推导，比如对相关变量组合应用AM≥GM不等式，不过需要结合$a,b,c$的关系做进一步调整

备注：内容来源于stack exchange，提问作者M. A.