次高斯极大值不等式的证明问询

嘿，我最近在推导一个次高斯随机变量的极大值概率上界，卡在半截儿了，想请大家帮忙梳理下完整的证明过程。具体问题如下：

假设 $X_1,\ldots,X_n$ 是独立的次高斯随机变量，满足 $\max_{1\leq i \leq n} \Vert X_i \Vert_{\psi_2} \leq 1$，我需要证明：
$$P \left( \max_{1\leq i \leq n} X_i \geq t \sqrt{\log n} \right) \leq 2 \exp (-Ct^2)$$

我目前的思路： #

因为每个 $X_i$ 都是次高斯随机变量，且 $\Vert X_i \Vert_{\psi_2} \leq 1$，所以每个 $X_i$ 都满足如下的尾部界：
$$P(|X_i| \geq u) \leq 2 \exp(-cu^2)$$
这里 $c>0$ 是某个常数，对任意 $u>0$ 都成立。

我现在要估计的是 $P\left( \max_{1 \leq i \leq n} X_i \geq t \sqrt{\log n} \right)$ 的上界，目前想到用**并集界（Union Bound）**来处理，但后面的推导还没理清楚，想请大家帮忙完成后续步骤~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Maths Freak