随机变量独立性验证问题：若P(X=Y)=1且Z与X独立，Z是否与Y独立？

直觉上我会给这个问题一个否定的答案，我试着构造了这样一个例子：

设 $X(\omega) \equiv 0$，$Y(\omega) = 0 + Z(\omega_0)I{\omega =\omega_0 }$，其中 $X,Y$ 共享同一个概率空间。这个例子看起来能作为该问题的反例，但我发现要严格说明 $Y$ 和 $Z$ 是不独立的，还是有点难度的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Wentao Zhang