优惠券收集问题的两个概率公式是否等价？

嘿，这个问题问得特别到位，咱们先把这两个公式的来龙去脉和适用场景掰扯清楚，就能明白它们是不是一回事了：

• 第一个带指数、阶乘的公式：
  $Pr(N=k) = \frac{e^{-kc}}{k!} e^{-e{-c}}$
  这其实是一个大样本下的渐近近似公式，是当优惠券种类数n趋向于无穷大时，对收集完所有优惠券的次数的概率分布做标准化后得到的极限近似结果，用鞅方法推导出来的。它本质是个近似，只有当n非常大的时候，计算出来的结果才会贴近真实概率。

• 第二个带容斥求和的公式：
  $P(T \leq k) = \frac{1}{n^k} \sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i} (n-i)^k$
  这个是精确的累积分布函数，不管n是大是小，都能精准算出「收集完所有n种优惠券的总次数不超过k次」的概率。它是用容斥原理严格推导出来的，没有任何近似，是完全准确的表达式。

所以结论很明确：这两个公式并不等价。一个是大样本场景下的近似概率质量函数，一个是适用于所有场景的精确累积概率。不过当n足够大时，第一个近似公式的结果会和第二个精确公式推导出来的对应概率值非常接近，但从数学本质和适用范围来说，它们是完全不同的两个表达式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者heartofdarkness