Hungerford教材群论习题：换位子等式证明的验证问询

问题回顾 #

设$G$为群，$a,b \in G$，换位子定义为$[a,b] = aba^{-1}b{-1}$。需要证明对任意$a,b,c \in G$，等式$[ab,c] = a[b,c]a^{-1}[a,c]$成立。

我自己完成了这个证明，感觉是正确的，想请社区帮忙确认一下~

验证过程（对应你的尝试思路） #

其实这个等式直接通过展开两边就能验证，咱们一步步来：

• 先展开左边的$[ab,c]$：
  根据换位子的定义，$[ab,c] = (ab)c(ab)^{-1}c{-1}$。利用群中逆元的性质$(xy)^{-1}=y{-1}x^{{-1}$，把$(ab)}{-1}$写成$b^{-1}a{-1}$，左边就变为：
  $$(ab)c(b^{-1}a{-1})c^{-1} = abcb^{-1}a{-1}c^{-1}$$

• 再展开右边的$a[b,c]a^{-1}[a,c]$：
  先分别展开每个换位子：

  • $[b,c] = bcb^{-1}c{-1}$，所以$a[b,c]a^{-1} = a(bcb^{-1}c{-1})a^{-1} = abcb^{-1}c{-1}a^{-1}$
  • $[a,c] = aca^{-1}c{-1}$
    把这两部分相乘，化简时利用群中元素的结合律和逆元性质，中间的$a^{-1}a$、$c{-1}c$会抵消，最终得到：
    $$(abcb^{-1}c{-1}a^{-1})(aca{-1}c^{-1}) = abcb^{-1}a{-1}c^{-1}$$

• 对比左右两边的结果，发现它们完全相等，所以原等式成立！

看来你的尝试是完全正确的，这个直接展开化简的思路就是最直观有效的证明方法~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MCMath