傅里叶变换规则中ω与f变量转换的应用困惑及函数转换咨询

我之前完全是用$f$来学习傅里叶变换的，直到现在才需要转换成$\omega$，在傅里叶变换规则表中进行变量转换的时候我特别困惑。

我理解$\delta(ay) = \frac{1}{|a|} \delta(y)$这个缩放性质，也明白$\delta(\omega) = \delta(2\pi f) = \frac{1}{2\pi} \delta(f)$的转换关系，但实际应用这个原理的时候却遇到了麻烦，尤其是处理矩形和三角函数这类非冲激函数的时候。

举个具体的例子，我现在有一个定义在角频率$\omega$域的三角函数：
$$
H(\omega) =
\begin{cases}
1 - \frac{T}{\pi}|\omega|, & |\omega| \leq \frac{\pi}{T}, \
0, & |\omega| > \frac{\pi}{T}.
\end{cases}
$$

如果要把这个函数的定义域转换成普通频率$f$，我就不知道该怎么正确转换边界条件和函数表达式了……

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ari m