关于Segre子簇Σ₁,₁中曲线C为(1,3)次双齐次多项式零点集的证明求助

各位大佬好，我正在做代数几何课上的练习题，遇到了卡壳的地方，想请教一下：

题目定义了一个映射 $\varphi: \mathbb{P}^1 \rightarrow \mathbb{P}^3$，具体形式是 $\varphi([x_0:x_1])=[x_0^4:x_03x_1:x_0x_1^3:x_14]$，记这条像曲线为 $C=\varphi(\mathbb{P}^1)$。

我已经成功证明了 $C \subset \Sigma_{1,1}$（也就是Segre子簇），但接下来需要证明：把C看作 $\Sigma_{1,1}$ 的子簇时，它正好是某个**双次数为(1,3)**的双齐次多项式的零点集。我试着找一个3次齐次多项式让它在C上取零，但折腾了半天都没找到方向，有没有人能给点思路或者提示呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者leo