陶哲轩分析教材中集合交集等式证明的疑问：如何利用I、J非空的条件

嘿，我太懂你的困惑了！当初啃陶哲轩这本分析教材的时候，我也卡在这个空指标集的问题上好一会儿呢！

先把你的问题再理清楚：你要证的是当$I$和$J$非空时，$(\bigcap_{\alpha\in I} A_{\alpha})\cap (\bigcap_{\alpha\in J} A_{\alpha}) = \bigcap_{\alpha\in I\cup J} A_{\alpha}$，但你自己的证明全程没用到非空条件，这就很奇怪，对吧？

问题的核心其实在**空交集的定义（或者说合法性）**上！

陶哲轩的教材里应该会明确（或者隐含）一个规则：只有当指标集非空时，交集运算$\bigcap_{\alpha\in S} A_{\alpha}$才是有定义的。为什么？因为在ZF集合论里，不存在“全集”这种东西（会引发罗素悖论），所以当指标集为空时，我们没法给$\bigcap_{\alpha\in \emptyset} A_{\alpha}$一个合法的集合定义——你总不能说它包含所有元素吧？那这个“所有元素”的集合根本不存在。

那回到你的问题：如果没有$I$和$J$非空的条件，会发生什么？

比如假设$I$是空集，$J$非空：这时候$\bigcap_{\alpha\in I} A_{\alpha}$是空交集，而根据教材的规则，这个表达式是无定义的——它不是一个合法的集合。那左边的$(\bigcap_{\alpha\in I} A_{\alpha})\cap (\bigcap_{\alpha\in J} A_{\alpha})$就变成了一个“无定义的东西”和一个集合的交集，整个表达式都没有意义了，更别说和右边的$\bigcap_{\alpha\in I\cup J} A_{\alpha}$（也就是$\bigcap_{\alpha\in J} A_{\alpha}$）相等了。

再极端点，如果$I$和$J$都是空集：左边是两个无定义的空交集的“交集”，完全没意义；右边是$\bigcap_{\alpha\in \emptyset} A_{\alpha}$，同样无定义。这时候等式根本就不成立——因为两边都不是合法的集合。

而你的证明之所以没用到非空条件，是因为你默认了$\bigcap_{\alpha\in I} A_{\alpha}$和$\bigcap_{\alpha\in J} A_{\alpha}$都是已经存在的合法集合，但这个默认的前提，恰恰就是$I$和$J$非空才能保证的！也就是说，你的证明是建立在“所有涉及的交集都有定义”的基础上，而这个基础的前提就是题目给的$I$、$J$非空。

举个直白的例子：就像你要证明“两个分数相加的结果等于某个分数”，你得先默认这两个分数都是有意义的（分母不为0）——这里的$I$、$J$非空，就相当于“分母不为0”的条件，虽然你在计算加法的时候没直接用到，但没有这个条件，整个问题就不成立。

所以总结一下：题目要求$I$、$J$非空，本质是为了保证等式左右两边所有的交集运算都是合法的、有定义的集合，你的证明其实已经隐含了这个前提，只是你没意识到而已！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Igor Mello