不定积分中对x的假设：合理还是存在问题？

我最近在做不定积分的时候，发现了一个挺普遍的现象——好多作者会悄悄给x的定义域加上隐含假设，却从来不明说。就拿I.A. Maron的《单变量微积分习题集》里的一个积分题来说：

$$I = \int \dfrac{2\tan x + 3}{\sin^2{x} + 2\cos^2{x}},dx,$$

作者直接把它转换成了：
$$I=\int \dfrac{2\tan x + 3}{\tan^2 x + 2}\sec^2{x},dx$$

你仔细看就会发现，这一步是分子分母同除以了$\cos^2{x}$，但这个操作的前提是$\cos{x} \neq 0$啊！可作者完全没提这个限制，就这么顺理成章地算了下去。

这还只是我碰到的一个例子，类似的情况真的不少——每次做积分，总能遇到作者默认x在某个范围内，却把这个假设藏得严严实实的情况。

我自己还整理了好几个这类案例，甚至发现有些例子换种解法，其实完全可以避开这些隐含的定义域假设。这就让我忍不住琢磨：在不定积分里，这种对x定义域的隐含假设，到底是行业内默认的合理操作，还是其实是一种不够严谨、存在问题的做法？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ten_to_tenth