关于级数∑ₙ=2^∞ (lnn)^x敛散性的求解疑问

最近我在啃K. F. Riley的《Mathematical Methods for Physics and Engineering》这本书，结果卡在了第145页的习题4.11(6)上——不光自己解不出这道题，就连书里给的提示和找到的学生解答内容都让我一头雾水，想请教下各位大佬。

原题内容 #

求使得下述级数收敛的实数$x$的取值：
$$\sum\limits_{n=2}^{\infty} (\ln{n})^x$$

书中给出的提示 #

该级数始终发散。显然当$x > -1$时级数发散。对于$-X = x < -1$的情况，考虑：
$$ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \sum\limits_{n = M_{k-1}+1}^{M_k}\frac{1}{(\ln M_k)^X} $$
其中$\ln M_k = k$，且注意到$M_k - M_{k-1} = e^{-1}(e-1)M_k$；由此证明级数发散。

学生解答的相关片段 #

我找到的学生解答里提到：“该级数……”（原文此处内容不完整，未能获取到完整表述）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dale