将概率不等式$P(A)P(B)\ge P(A\cup B)P(A\cap B)$推广至n个事件的验证问题

问题提出 #

设$E_1,\dots,E_n$是某概率空间中的事件，定义随机变量$X=\sum_{i=1}^n{\bf 1}(E_i)$——它的含义是这n个事件中实际发生的数量。现在需要判断以下这个一般性不等式是否恒成立：
$$
P(E_1)P(E_2)\cdots P(E_n)\ge P(X\ge 1)P(X\ge 2)\cdots P(X\ge n)?
$$

已知背景 #

对于两个事件$A$和$B$，不等式$P(A)P(B)\ge P(A\cup B)P(A\cap B)$是概率领域里的经典结论，证明起来也很直观。这里提供一种常见的证明方法：
令$p_1=P(A\setminus B)$（即仅A发生的概率），$p_2=P(B\setminus A)$（仅B发生的概率），$p_3=P(A\cap B)$（A和B同时发生的概率），那么原不等式可以转化为：
$$
(p_1+p_3)(p_2+p_3)\ge (p_1+p_2+p_3)p_3
$$
将两边分别展开：

• 左边展开后为：$p_1p_2 + p_1p_3 + p_2p_3 + p_3^2$
• 右边展开后为：$p_1p_3 + p_2p_3 + p_3^2$
  对比左右两边，左边比右边多出一项$p_1p_2$，而概率值必然非负，因此$p_1p_2\ge0$，由此可直接推出原不等式成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mike Earnest