计算两点间曲线长度时无法对$d \to \infty$取极限的问题求助

大家好，我是第一次在Math Stack Exchange提问，可能会有表述不当的地方，先提前说声抱歉啦！

最近我自己摸索着尝试计算曲线$f(x)=\sqrt{1-x^2}$在两点间的长度，折腾半天后得到了几个相关的表达式，而且我发现当$d$取值越大时，计算出来的结果就越接近准确值，但我在对$d \to \infty$取极限的时候遇到了问题，想请教一下大家。

我得到的表达式有这几个：

• 第一个积分形式：
  $$\int_{-1 \cdot d}^{1 \cdot d}\sqrt{\left(\left|f\left(x\frac{a}{d}+\frac{a}{d}\right)-f\left(x\frac{a}{d}\right)\right|\right)^{{2}+\left(\frac{a}{d}\right)}{2}}dx$$
• 第二个简化后的积分形式：
  $$d\int_{-1}^{{1}\sqrt{\left(\left|f\left(x+\frac{a}{d}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}{2}+\left(\frac{a}{d}\right)^{2}}dx$$
• 还有一个求和形式：
  $$\sum_{n=-d}^{{d} \sqrt{\left(f\left(n\frac{a}{d}+\frac{a}{d}\right)-f\left(n\frac{a}{d}\right)\right)}{2}+\left(\frac{a}{d}\right)^{2}}$$

麻烦大家帮我看看，我这些推导有没有问题？以及怎么处理当$d$趋向于无穷大时的极限呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Yishaya Lloyd-Levy