关于级数定义亚纯函数的证明及极点求解的技术问询

Prove that the following series define a meromorphic function in $\Bbb C$
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{\sinh (n\pi z)}{n!(z^2+n)}$$
and find poles and function poles's order.

我的尝试 #

因为
$$ \sinh (n\pi z) = \frac{e^{\pi n(x+iy)}-e^{-\pi n(x+iy)}}{2}$$
我认为
$$ |\sinh (n\pi z)|\leq \bigg (\frac{e^{\pi |x|}}{2}\bigg)^n$$
所以需要满足
$$e^{\pi |x|} < 2 \iff |x| < \frac{\log 2}{\pi}$$
但如果这个结论成立的话，收敛区域就是$x \in \big(-\frac{\log 2}{\pi}, \frac{\log 2}{\pi}\big)$，函数也就不是$\Bbb C$上的亚纯函数了。这让我意识到，如果分母没有$n!$的话这个论证可能是有效的，但我现在其实不太确定...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Turquoise Tilt