关于Atiyah-Macdonald习题1.7中素理想与极大理想等价性推导的疑问

先给出原题内容：

设$A$是一个环，其中每个元素$x$都满足$x^n = x$（这里$n>1$，且$n$的取值依赖于元素$x$）。证明$A$中的每个素理想都是极大理想。

我在一本习题解答书中看到了这样的推导（位于第8页）：
$$\bigcap { A\text{的素理想}} = N = J = \bigcap { A\text{的极大理想}} \implies { A\text{的素理想}} = { A\text{的极大理想}}$$

不过我没办法直接理解这个推导的逻辑，想知道这个蕴含关系为什么成立？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user264745