关于给定σ-代数的条件期望定义的理解求助

我之前已经搞懂了两个随机变量之间的条件期望定义，但最近碰到了下面这个基于σ-代数的条件期望定义，实在摸不着头脑：

定义：
设$\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}$是$\mathcal{F}$的子σ-代数。若随机变量$Z$满足以下三个条件，则称$Z$是$X$关于$\mathcal{G}$的条件期望，记作$E[X|\mathcal{G}]$：

1. $E[|Z|] < \infty$
2. $Z$是$\mathcal{G}$可测的
3. 对所有$G \in \mathcal{G}$，有$E[Z \cdot 1_G]=E[X \cdot 1_G]$

我之前只知道那种非常基础的、关于随机变量的条件期望定义，现在完全没法理解这个版本的定义到底在说什么...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者NTc5