关于W₀¹,₂(Ω)中弱解积分等式的证明求助

嘿，我来帮你搞定这个右边积分的逼近问题！你选的用$\mathcal{D}(\Omega)$序列逼近$\phi$的思路完全没问题，卡壳的地方其实可以通过控制收敛定理来突破，具体步骤我给你理清楚：

首先先回顾下弱解的核心定义：因为$u$是$-\Delta u = F(\nabla u)$的弱解，所以对所有紧支光滑函数$\psi \in \mathcal{D}(\Omega)$，都有
$$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla \psi = \int_\Omega F(\nabla u)\psi$$
我们的目标是把这个等式推广到$\phi \in W_0^{1,2}(\Omega) \cap L^\infty(\Omega)$。

第一步：构造合适的逼近序列${\phi_m}$ #

你已经想到用$\mathcal{D}(\Omega)$的函数逼近$\phi$，这里要注意，除了要求$\phi_m \to \phi$在$W_0^{{1,2}(\Omega)$中收敛（也就是$\phi_m$在$L}2$收敛，梯度也在$L^2$收敛），我们还可以让这个序列一致有界：

• 因为$\phi \in L^{\infty(\Omega)$，设$|\phi|_{L}\infty(\Omega)} = M$，我们可以通过光滑化（比如卷积）+ 截断的方式构造$\phi_m$，保证$|\phi_m|_{L^\infty(\Omega)} \leq M$，同时$\phi_m$在$W_0^{1,2}(\Omega)$中收敛到$\phi$，而且$\phi_m$几乎处处收敛到$\phi$。

第二步：处理左边积分的收敛性 #

这部分你已经搞定了，我再快速提一句：因为$\nabla u \in L^2(\Omega)$，$\nabla \phi_m \to \nabla \phi$在$L^{2(\Omega)$中，根据$L}2$内积的连续性，显然有
$$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla \phi_m \to \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla \phi$$

第三步：突破右边积分的收敛性（重点！） #

这是你卡壳的地方，核心是利用$F$的增长条件和控制收敛定理：

1. 先确认$F(\nabla u)$的可积性：由题设$|F(v)| \leq |v|^2$，而$\nabla u \in L^2(\Omega)$，所以$|F(\nabla u)| \leq |\nabla u|^2$，而$|\nabla u|^2$的积分就是$|\nabla u|_{L^2}2 < \infty$，所以$F(\nabla u) \in L^1(\Omega)$。
2. 然后看被积函数$F(\nabla u)\phi_m$的界：因为$|\phi_m|{L^\infty} \leq M$，所以
   $$|F(\nabla u)\phi_m| \leq |F(\nabla u)| \cdot |\phi_m|{L^\infty} \leq M |\nabla u|^2$$
   而$M |\nabla u|^2$是$L1(\Omega)$中的函数（因为$|\nabla u|^2$可积），这就是我们需要的控制函数。
3. 最后用控制收敛定理：因为$\phi_m$几乎处处收敛到$\phi$，所以$F(\nabla u)\phi_m$几乎处处收敛到$F(\nabla u)\phi$，再结合上面的控制函数，就可以得到
   $$\int_\Omega F(\nabla u)\phi_m \to \int_\Omega F(\nabla u)\phi$$

第四步：取极限得到结果 #

对每个$m$，根据弱解的定义，有
$$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla \phi_m = \int_\Omega F(\nabla u)\phi_m$$
两边让$m \to \infty$，左边收敛到目标等式的左半部分，右边收敛到右半部分，这样就证明了我们要的积分等式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ferdinand